Moving Genomsnittet Autokorrelation

Introduktion till ARIMA nonseasonal models. ARIMA p, d, q prognos Equation ARIMA-modeller är i teorin den vanligaste klassen av modeller för prognoser för en tidsserie som kan göras stationär genom differentiering om det behövs, kanske i samband med olinjära transformationer Till exempel loggning eller avflöde om det behövs En slumpmässig variabel som är en tidsserie är stillastående om dess statistiska egenskaper är konstanta över tid En stationär serie har ingen trend, dess variationer runt dess medelvärde har en konstant amplitud och det vinklar på ett konsekvent sätt Dvs dess kortsiktiga slumpmässiga tidsmönster ser alltid ut i statistisk mening. Det sistnämnda tillståndet betyder att dess autokorrelationsrelationer med sina egna tidigare avvikelser från medelvärdet förblir konstanta över tiden, eller likvärdigt, att dess effektspektrum förblir konstant över tiden. En slumpmässig variabel i denna form kan ses som vanligt som en kombination av signal och brus, och signalen om en är uppenbar kan vara en patt ingen snabb eller långsam medelåterföring eller sinusformad oscillation eller snabb växling i tecken och det kan också ha en säsongskomponent. En ARIMA-modell kan ses som ett filter som försöker skilja signalen från bruset och signalen är då extrapoleras till framtiden för att erhålla prognoser. ARIMA-prognosen för en stationär tidsserie är en linjär dvs regressionstypsekvation där prediktorerna består av lags av den beroende variabeln och eller lags av prognosfel som är. Predicted value of Y En konstant och eller en vägd summa av en eller flera nya värden av Y och eller en vägd summa av en eller flera nya värden av felen. Om prediktorerna endast består av fördröjda värden på Y är det en ren självregressiv självregresserad modell, Vilket bara är ett speciellt fall av en regressionsmodell och som kan utrustas med standard regressionsprogramvara. Till exempel är en första-ordningsautegressiv AR 1-modell för Y en enkel regressionsmodell där den oberoende variabeln i s bara Y fördröjt med en period LAG Y, 1 i Statgraphics eller YLAG1 i RegressIt Om några av prediktorerna lags av felen är en ARIMA-modell det inte en linjär regressionsmodell eftersom det inte finns något sätt att ange den senaste periodens fel Som en oberoende variabel måste felen beräknas under en period då modellen är monterad på data. Tekniskt sett är problemet med att använda fördröjda fel som prediktorer att modellens förutsägelser inte är linjära funktioner hos Koefficienter trots att de är linjära funktioner i tidigare data Således måste koefficienter i ARIMA-modeller som innehåller fördröjda fel uppskattas genom olinjära optimeringsmetoder bergklättring snarare än genom att bara lösa ett system av ekvationer. Akronymet ARIMA står för auto-regressivt integrerat Flyttande medelvärden för den stationära serien i prognosen ekvationen kallas autoregressiva termer, lags av prognosfel kallas glidande medelvärden och en tidsserie som behöver Skilja sig från att bli stationär sägs vara en integrerad version av en stationär serie Slumpmässiga och slumpmässiga modeller, autoregressiva modeller och exponentiella utjämningsmodeller är alla speciella fall av ARIMA-modeller. En nonseasonal ARIMA-modell är klassad som en ARIMA p, d, q modell, where. p är antalet autoregressiva termer. d är antalet icke-säsongsskillnader som behövs för stationaritet, ochqq är antalet fördröjda prognosfel i prediksionsekvationen. Prognosekvationen är konstruerad enligt följande Först, låt y beteckna d: n skillnaden i Y vilket betyder. Notera att den andra skillnaden i Y d2 fallet inte är skillnaden från 2 perioder sedan. Det är snarare den första skillnaden-av-första skillnaden som är Den diskreta analogen av ett andra derivat, dvs den lokala accelerationen i serien snarare än den lokala trenden. Med avseende på y är den generella prognosekvationen här. De rörliga genomsnittsparametrarna s definieras så att deras tecken är negativa i ekvationen Uation, enligt konventionen introducerad av Box och Jenkins Några författare och programvara inklusive R-programmeringsspråket definierar dem så att de har plustecken i stället När faktiska siffror är anslutna till ekvationen finns det ingen tvetydighet, men det är viktigt att veta vilken konvention Din programvara använder när du läser utmatningen Vanligtvis anges parametrarna av AR 1, AR 2, och MA 1, MA 2 etc. För att identifiera lämplig ARIMA-modell för Y börjar du med att bestämma ordningen för differentiering d behöver att stationera serierna och ta bort säsongens bruttoegenskaper, kanske i kombination med en variansstabiliserande transformation som loggning eller deflatering. Om du slutar vid denna punkt och förutsäger att den olika serien är konstant har du bara utrustat en slumpmässig promenad eller slumpmässig trendmodell Dock kan den stationära serien fortfarande ha autokorrelerade fel, vilket tyder på att ett antal AR-termer p 1 och eller några nummer MA-termer q 1 också behövs I prognosekvationen. Processen att bestämma värdena p, d och q som är bäst för en given tidsserie kommer att diskuteras i senare avsnitt i anteckningarna vars länkar finns högst upp på den här sidan, men en förhandsgranskning av vissa av de typer av icke-säsongsmässiga ARIMA-modeller som vanligtvis förekommer anges nedan. ARIMA 1,0,0 första ordningens autoregressiva modell om serien är stationär och autokorrelerad, kanske det kan förutsägas som ett flertal av sitt eget tidigare värde plus en Konstant Prognosekvationen i detta fall är vilken som Y är regresserad i sig fördröjd med en period. Detta är en ARIMA 1,0,0 konstant modell Om medelvärdet av Y är noll, skulle den konstanta termen inte inkluderas. Om lutningen koefficienten 1 är positiv och mindre än 1 i storleksordningen måste den vara mindre än 1 i storleksordningen om Y är stillastående, beskriver modellen medelåterkallande beteende där nästa period s-värde bör förutses vara 1 gånger så långt bort från medelvärdet som Denna period s värde om 1 är negativ, det Förutspår medelåterkallande beteende med teckenväxling, dvs det förutspår också att Y kommer att ligga under den genomsnittliga nästa perioden om det ligger över medelvärdet i denna period. I en andraordningsautoregressiv modell ARIMA 2,0,0 skulle det finnas en Y t-2 termen till höger, och så vidare. Beroende på tecken och storheter på koefficienterna kan en ARIMA 2,0,0 modell beskriva ett system vars genomsnittliga reversering sker på ett sinusformigt oscillerande sätt, som rörelsen av en massa på en fjäder som utsätts för slumpmässiga shocks. ARIMA 0,1,0 slumpmässig promenad Om serien Y inte är stationär är den enklaste möjliga modellen för den en slumpmässig promenadmodell, som kan betraktas som ett begränsande fall av en AR 1-modell där den autoregressiva koefficienten är lika med 1, dvs en serie med oändligt långsam medelvärde. Förutsägningsekvationen för denna modell kan skrivas som. Om den konstanta termen är den genomsnittliga perioden för periodändring, dvs den långsiktiga Drift i Y Denna modell kan monteras som en icke-avlyssning Gressmodell där den första skillnaden i Y är den beroende variabeln Eftersom den endast innehåller en icke-sekundär skillnad och en konstant term, klassificeras den som en ARIMA 0,1,0-modell med konstant. Den slumpmässiga promenad-utan-driftmodellen skulle vara en ARIMA 0,1,0-modell utan konstant. ARIMA 1,1,0-differensierad första ordningens autoregressiv modell Om felen i en slumpmässig promenadmodell är autokorrelerad kanske problemet kan lösas genom att lägga en lag av den beroende variabeln till Prediksionsekvationen - dvs genom att regressera den första skillnaden i Y i sig själv fördröjd med en period. Detta skulle ge följande förutsägelsekvation. Det kan omordnas till. Detta är en första-orders autregressiv modell med en ordning av icke-säsongsskillnader och en konstant term - en ARIMA 1,1,0 modell. ARIMA 0,1,1 utan konstant enkel exponentiell utjämning En annan strategi för korrigering av autokorrelerade fel i en slumpmässig promenadmodell föreslås av den enkla exponentiella utjämningsmodellen. Kom ihåg att för vissa icke-stationära tidsserier, t ex de som uppvisar bullriga fluktuationer runt ett långsamt varierande medelvärde, utförs slumpmässiga gångmodellen inte lika bra som ett glidande medelvärde av tidigare värden. Med andra ord, snarare än att ta den senaste observationen som prognosen för nästa observation , är det bättre att använda ett genomsnitt av de senaste få observationerna för att filtrera bort bruset och mer exakt uppskatta det lokala medelvärdet. Den enkla exponentiella utjämningsmodellen använder ett exponentiellt vägat glidande medelvärde av tidigare värden för att uppnå denna effekt. Förutsättningsekvationen för enkel exponentiell utjämningsmodell kan skrivas i ett antal matematiskt ekvivalenta former, varav en är den så kallade felkorrigeringsformen, där den föregående prognosen justeras i riktning mot det fel som det gjorde. Eftersom e t-1 Y t - 1 - t-1 per definition kan detta skrivas om som vilken är en ARIMA 0,1,1-utan konstant prognosförening med 1 1 - Det betyder att du kan passa en enkel exponentiell smoo sak genom att specificera den som en ARIMA 0,1,1 modell utan konstant, och den uppskattade MA 1-koefficienten motsvarar 1-minus-alfa i SES-formeln. Minns att i SES-modellen är medelåldern för data i 1- periodprognoser är 1 vilket innebär att de tenderar att ligga bakom trender eller vändpunkter med cirka 1 perioder. Det följer att den genomsnittliga åldern för data i de 1-prognoser framöver av en ARIMA 0,1,1 utan konstant modell är 1 1 - 1 Så, till exempel, om 1 0 8 är medelåldern 5 När 1 närmar sig 1 blir ARIMA 0,1,1 utan konstant modell ett mycket långsiktigt glidande medelvärde, och När 1 närmar sig 0 blir det en slumpmässig promenad utan driftmodell. Vad är det bästa sättet att korrigera för autokorrelation som lägger till AR-termer eller adderar MA-termer I de tidigare två modellerna som diskuterats ovan, problemet med autokorrelerade fel i en slumpmässig promenadmodell fixades på två olika sätt genom att lägga till ett fördröjt värde av den olika serien till ekvationen eller lägga till ett fördröjt värde för foreca st fel Vilket tillvägagångssätt är bäst En tumregel för denna situation, som kommer att diskuteras mer i detalj senare, är att positiv autokorrelation vanligtvis behandlas bäst genom att addera en AR-term till modellen och negativ autokorrelation behandlas vanligtvis bäst av Lägga till en MA-term I affärs - och ekonomiska tidsserier uppstår negativ autokorrelation ofta som en artefakt av differentiering. I allmänhet minskar differentieringen positiv autokorrelation och kan till och med orsaka en växling från positiv till negativ autokorrelation. Således är ARIMA 0,1,1-modellen i vilken skillnad åtföljs av en MA-term, används oftare än en ARIMA 1,1,0-modell. ARIMA 0,1,1 med konstant enkel exponentiell utjämning med tillväxt Genom att implementera SES-modellen som en ARIMA-modell får du faktiskt lite flexibilitet För det första får den uppskattade MA 1-koefficienten vara negativ, vilket motsvarar en utjämningsfaktor som är större än 1 i en SES-modell, vilket vanligtvis inte är tillåtet med SES-modellproceduren Sec Du har möjlighet att inkludera en konstant term i ARIMA-modellen om du vill, för att uppskatta en genomsnittlig icke-nollutveckling. ARIMA 0,1,1-modellen med konstant har förutsägelsesekvationen. En-tiden framåt prognoser från denna modell är kvalitativt lik SES-modellen, förutom att banan för de långsiktiga prognoserna typiskt är en sluttande linje vars lutning är lika med mu snarare än en horisontell linje. ARIMA 0,2,1 eller 0, 2,2 utan konstant linjär exponentiell utjämning Linjära exponentiella utjämningsmodeller är ARIMA-modeller som använder två icke-säsongsskillnader i samband med MA-termer. Den andra skillnaden i en serie Y är inte bara skillnaden mellan Y och sig självfördröjt med två perioder, men snarare är det den första skillnaden i den första skillnaden - förändringen i förändringen av Y vid perioden t Således är den andra skillnaden hos Y vid period t lika med Y t-Y t-1-Y t-1-Y t-2 Y t - 2Y t-1 Y t-2 En andra skillnad på en diskret funktion är analog s till ett andra derivat av en kontinuerlig funktion, mäter accelerationen eller krökningen i funktionen vid en given tidpunkt. ARIMA 0,2,2-modellen utan konstant förutspår att den andra skillnaden i serien motsvarar en linjär funktion av den sista två prognosfel. som kan omordnas som. där 1 och 2 är MA 1 och MA 2-koefficienterna Detta är en generell linjär exponentiell utjämningsmodell som är väsentligen densamma som Holt s-modellen och Brown s-modellen är ett speciellt fall. Det använder exponentiellt vägt Glidande medelvärden för att uppskatta både en lokal nivå och en lokal trend i serien. De långsiktiga prognoserna från denna modell konvergerar till en rak linje vars lutning beror på den genomsnittliga trenden som observerats mot slutet av serien. ARIMA 1,1,2 utan Konstant dämpad trend linjär exponentiell utjämning. Denna modell illustreras i de bifogade bilderna på ARIMA-modellerna. Det extrapolerar den lokala trenden i slutet av serien men plattar ut på längre prognoshorisonter för att introducera en konservatismens övning, en övning som har empiriskt stöd Se artikeln om Varför den dämpade trenden fungerar av Gardner och McKenzie och Golden Rule-artikeln från Armstrong et al för detaljer. Det är vanligtvis lämpligt att hålla sig till modeller där minst en av p Och q är inte större än 1, dvs försök inte passa en modell som ARIMA 2,1,2, eftersom det här sannolikt kommer att leda till överfitting och commonfactorproblem som diskuteras närmare i noterna på matematiska struktur av ARIMA-modeller. Spreadsheet implementation ARIMA-modeller som de som beskrivs ovan är enkla att implementera på ett kalkylblad. Förutsägningsekvationen är helt enkelt en linjär ekvation som refererar till tidigare värden av ursprungliga tidsserier och tidigare värden på felen. Således kan du ställa in ett ARIMA prognosräkningsblad genom att lagra data i kolumn A, prognosformeln i kolumn B och feldata minus prognoser i kolumn C Prognosformeln i en typisk cell i kolumn B skulle helt enkelt vara en linjär uttryck n hänvisar till värden i föregående rader av kolumnerna A och C multiplicerat med lämpliga AR - eller MA-koefficienter lagrade i cellerna någon annanstans på kalkylbladet. Kontrollera Kontrollera Randomness. Autocorrelation plots Box and Jenkins, sid 28-32 är ett vanligt använt verktyg för Kontroll av slumpmässighet i en dataset Denna slumpmässighet bestäms genom att beräkna autokorrelationer för datavärden vid olika tidsfördröjningar. Om slumpmässigt skulle sådana autokorrelationer vara nära noll för alla tidsfördröjningar. Om inte slumpmässigt kommer en eller flera av autokorrelationerna att vara signifikant icke-zero. In addition autocorrelation tomter används i modellen identifieringssteget för Box-Jenkins autoregressiva, rörliga genomsnittliga tidsserie modeller. Autocorrelation är bara ett mått på slumpmässighet. Notera att okorrelerade inte nödvändigtvis betyder slumpmässiga data som har betydande Autokorrelation är inte slumpmässig. Men data som inte visar signifikant autokorrelation kan fortfarande uppvisa icke-slumpmässighet på andra sätt. Autokorrelation är bara ett mått på slumpmässighet I samband med modellvalidering som är den primära typen av slumpmässighet som vi skriver i Handboken är kontroll av autokorrelation typiskt ett tillräckligt slumpmässigt test eftersom resterna från en dålig passande modell tenderar att visa icke-subtil slumpmässighet. , Kräver vissa tillämpningar en mer noggrann bestämning av slumpmässighet. I dessa fall kan ett testtest, vilket kan innefatta kontroll av autokorrelation, tillämpas eftersom data kan vara slumpmässiga på många olika och ofta subtila sätt. Ett exempel på var en strängare kontrollera att slumpmässighet behövs skulle vara i testning av slumptalsgeneratorer. Provplottautokorrelationer bör vara nära noll för slumpmässighet. Så är inte fallet i detta exempel och sålunda slumpmässigt antagandet misslyckas. Detta prov autokorrelationsplot visar att tidsserierna inte är slumpmässiga , Men har snarare en hög grad av autokorrelation mellan intilliggande och närliggande intilliggande observationer. Definitionen rh mot h. Autocorrela plot bildas av autocorrelationskoefficienten. Vertisk axelvärde. där Ch är autokovariansfunktionen. och C0 är variansfunktionen. Notera att Rh är mellan -1 och 1. Notera att vissa källor kan använda följande formel för autokovarians Funktionen. Även om den här definitionen har mindre bias, har formuleringen 1 N några önskvärda statistiska egenskaper och är den form som används mest i statistiklitteraturen Se sidorna 20 och 49-50 i Chatfield för detaljer. Horisontell axel Tidslagsvisning hh 1, 2, 3.Men ovanstående rad innehåller också flera horisontella referenslinjer. Mellanlinjen är vid noll. De övriga fyra linjerna är 95 och 99 konfidensband. Observera att det finns två distinkta formler för att generera förtroendeband. Om autokorrelationsplanen används för att testa för slumpmässighet, dvs det finns ingen tidsberoende i data rekommenderas följande formel. Där N är provstorleken, z är den kumulativa fördelningsfunktionen för normal normalfördelning och alfa är t Hans signifikansnivå I det här fallet har konfidensbanden en bestämd bredd som beror på provstorleken. Det här är formeln som användes för att generera förtroendebanden i ovanstående plot. Utföringsdiagrammen används också i modellidentifieringssteget för montering av ARIMA-modeller I detta fall antas en glidande genomsnittsmodell för data och följande förtroendeband ska genereras. Där k är fördröjningen, N är provstorleken, z är den kumulativa fördelningsfunktionen för normal normalfördelning och alfa är betydelsen Nivå I detta fall ökar konfidensbanden när fördröjningen ökar. Autokorrelationsplotten kan ge svar på följande frågor. Uppgifterna är slumpmässiga. Det är en observation relaterad till en intilliggande observation. Det är en observation som är relaterad till en observation, två gånger borttagen etc . Är den observerade tidsserien vitt brus. Är den observerade tidsserien sinusformad. Är den observerade tidsserien autoregressiv. Vad är en lämplig modell för den observerade ti mig series. Is modellen. valid och sufficient. Is formeln ss sqrt valid. Importance Säkerställa validiteten av engineering conclusions. Randomness tillsammans med fast modell, fast variation och fast distribution är ett av de fyra antaganden som typiskt ligger till grund för alla mätprocesser. slumpmässiga antaganden är kritiskt viktiga av följande tre skäl. De flesta standard statistiska testerna är beroende av slumpmässighet. Testresultatets giltighet är direkt kopplad till slumpmässighetens antagande. Många vanliga statistiska formler beror på slumpmässigt antagande, den vanligaste Formeln är formeln för att bestämma standardavvikelsen för provmedlet. Där s är standardavvikelsen för data. Även om det är tungt använd, är resultaten från att använda denna formel inget värde om inte slumpmässigt antagande hålls. För univariata data är standardmodellen Är. Om uppgifterna inte är slumpmässiga, är denna modell felaktig och ogiltig, och uppskattningarna för parametrarna som konstanten blir nonsensisk och ogiltig. Kort sagt, om analytikern inte kontrollerar slumpmässigt, blir giltigheten av många av de statistiska slutsatserna misstänkt. Autocorrelation-plotet är ett utmärkt sätt att kolla på sådan slumpmässighet.2 1 Flytta genomsnittliga modeller MA-modeller. Tidsseriemodeller som kallas ARIMA-modeller kan innefatta autoregressiva termer och eller glidande medelvärden. I vecka 1 lärde vi oss en autoregressiv term i en tidsseriemodell för variabeln. Xt är ett fördröjt värde på xt. Till exempel en lag 1-autoregressiv termen är x t-1 multiplicerad med en koefficient Denna lektion definierar glidande medelvärden. En glidande medelfrist i en tidsseriemodell är ett tidigare fel multiplicerat med en koefficient. Låt wt överskridas N 0, sigma 2w, vilket betyder att vikten är identiskt , Oberoende distribuerad, var och en med en normal fördelning med medelvärde 0 och samma varians. Den 1 st ordningsrörande genomsnittsmodellen betecknad med MA 1 är. Xt mu wt theta1w. Den 2: a beställer rörlig genomsnittsmodell, betecknad med MA 2 är. Xt mu wt theta1w theta2. Den q-ordningsrörelserna medellägesmodellen, betecknad med MA q är. Xt mu wt theta1w theta2w prickar thetaqw. Note Många läroböcker och programvara definierar modellen med negativa tecken före villkoren. Detta förändrar inte de allmänna teoretiska egenskaperna hos modellen, även om den vrider de algebraiska tecknen på uppskattade koefficientvärden och oskydda termer i Formler för ACF och avvikelser Du måste kontrollera din programvara för att verifiera om negativa eller positiva tecken har använts för att korrekt skriva den beräknade modellen R använder positiva tecken i sin underliggande modell, som vi gör här. De teoretiska egenskaperna hos en tidsserie med En MA 1-modell. Notera att det enda nonzero-värdet i teoretiskt ACF är för lag 1 Alla andra autokorrelationer är 0 Således är ett sampel ACF med en signifikant autokorrelation endast vid lag 1 en indikator på en möjlig MA 1-modell. För intresserade studenter, Bevis på dessa egenskaper är en bilaga till denna handout. Exempel 1 Antag att en MA 1-modell är xt 10 wt 7 w t-1 där wt överför N 0,1 Således koefficienten 1 0 7 Th E teoretisk ACF ges av. En plot av denna ACF följer. Den plott som just visas är den teoretiska ACF för en MA 1 med 1 0 7 I praktiken har ett prov som vunnits t ge ett så tydligt mönster. Med hjälp av R simulerade vi n 100 Provvärden med hjälp av modellen xt 10 wt 7 w t-1 där w t. iid N 0,1 För denna simulering följer en tidsserieplot av provdata. Vi kan inte berätta mycket av denna plot. Provet ACF för den simulerade data följer Vi ser en spik vid lag 1 följt av allmänt icke-signifikanta värden för lags över 1 Observera att provet ACF inte matchar det teoretiska mönstret för den underliggande MA 1, vilket är att alla autokorrelationer för lags över 1 kommer att vara 0 A Olika prov skulle ha ett något annorlunda prov ACF som visas nedan, men skulle troligen ha samma breda egenskaper. Deoretiska egenskaperna hos en tids serie med en MA 2-modell. För MA 2-modellen är de teoretiska egenskaperna följande. Notera att den enda nonzero värden i teoretisk ACF är för lags 1 och 2 autocorrelat Joner för högre lags är 0 Så, ett ACF-prov med signifikanta autokorrelationer vid lags 1 och 2, men icke-signifikanta autokorrelationer för högre lags indikerar en möjlig MA 2-modell. N 0,1 Koefficienterna är 1 0 5 och 2 0 3 Eftersom detta är en MA 2, kommer den teoretiska ACF endast att ha nonzero-värden endast vid lags 1 och 2.Values ​​av de två icke-oberoende autokorrelationerna är. En plot av den teoretiska ACF följer. Som nästan alltid är fallet, samplingsdata som vunnit t uppträder ganska Så perfekt som teori Vi simulerade n 150 provvärden för modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 var w t. iid N 0,1 Tidsseriens plot av data följer Som med tidsseriens plot för MA 1-provdata kan du inte berätta mycket för. Provet ACF för den simulerade data följer Mönstret är typiskt för situationer där en MA 2-modell kan vara användbar. Det finns två statistiskt signifikanta spikar vid lags 1 och 2 följt av icke - - värda värden för andra lags Observera att på grund av provtagningsfel stämde provet ACF inte Det teoretiska mönstret exactly. ACF för General MA q Models. A egenskap av MA q modeller i allmänhet är att det finns icke-oberoende autokorrelationer för de första q lagsna och autokorrelationerna 0 för alla lags q. Non-unikhet av samband mellan värdena på 1 och rho1 I MA 1-modell. I MA 1-modellen, för vilket värde som helst av 1, ger den ömsesidiga 1 1 samma värde. För exempel, använd 0 5 för 1 och använd sedan 1 0 5 2 för 1 Du får rho1 0 4 I båda fallen. För att tillfredsställa en teoretisk begränsning som kallas invertibilitet begränsar vi MA1-modellerna till att ha värden med absolutvärdet mindre än 1 I exemplet just givet är 1 0 5 ett tillåtet parametervärde medan 1 1 0 5 2 inte kommer att. Invertibility av MA modeller. En MA-modell sägs vara omvändbar om den är algebraiskt ekvivalent med en konvergerande oändlig ordning AR-modell. Genom konvertering menar vi att AR-koefficienterna minskar till 0 när vi flyttar tillbaka i tiden. Invertibility är en begränsning programmerad till tidsserie programvara som används för att uppskatta coeff icients of models med MA termer Det är inte något vi söker efter i dataanalysen Ytterligare information om invertibility-begränsningen för MA 1-modeller finns i bilagan. Avancerad teorinotering För en MA q-modell med en specificerad ACF finns det endast en omvänd modell Den nödvändiga förutsättningen för invertibilitet är att koefficienterna har värden så att ekvationen 1- 1 y - qyq 0 har lösningar för y som faller utanför enhetens cirkel. R Kod för exemplen. I exempel 1 ritade vi Teoretisk ACF av modellen xt 10 wt 7w t-1 och sedan simulerade n 150 värden från denna modell och ritade provtidsserierna och provet ACF för de simulerade data R-kommandona som användes för att plotta den teoretiska ACF var. acfma1 ARMAacf ma c 0 7, 10 lags av ACF för MA 1 med theta1 0 7 lags 0 10 skapar en variabel som heter lags som sträcker sig från 0 till 10 plot lags, acfma1, xlim c 1,10, ylab r, typ h, huvud ACF för MA 1 med theta1 0 7 abline h 0 lägger en horisontell axel till plot. Th E första kommandot bestämmer ACF och lagrar det i ett objekt med namnet acfma1 vårt val av namn. Plot-kommandot 3: e kommandotyperna lags mot ACF-värdena för lags 1 till 10 ylab-parametern markerar y-axeln och huvudparametern sätter en titel på plottet. För att se de numeriska värdena för ACF använder du bara kommandot acfma1. Simuleringen och diagrammen gjordes med följande kommandon. Lista ma c 0 7 Simulerar n 150 värden från MA 1 x xc 10 lägger till 10 för att göra medelvärdet 10 Simulering standardvärden betyder 0 diagram x, typ b, huvud Simulerat MA 1 data acf x, xlim c 1,10, huvud ACF för simulerade provdata. I exempel 2 ritade vi den teoretiska ACF av modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 och simulerade sedan n 150 värden från denna modell och ritade provtidsserierna och provet ACF för den simulerade Data R-kommandona som användes var. acfma2 ARMAacf ma c 0 5,0 3, acfma2 lags 0 10 plot lags, acfma2, xlim c 1,10, ylab r, typ h, huvud ACF för MA2 med theta1 O5, theta2 O 3 abline h 0 lista ma c 0 5, 0 3 x xc 10 plot x, typ b, huvud Simulerad MA 2-serie acf x, xlim c 1,10, huvud ACF för simulerade MA 2 Data. Appendix Bevis av egenskaper hos MA 1 . För intresserade studenter är här bevis på teoretiska egenskaper hos MA 1-modellen. Variantext xt text mu wt theta1 w 0 text wt text theta1w sigma 2w theta 21 sigma 2w 1 theta 21 sigma 2When h 1, föregående uttryck 1 W 2 För någon h 2 , Det föregående uttrycket 0 Anledningen är att, enligt definitionen av oberoende av Wt E wkwj 0 för någon kj vidare, eftersom wt har medelvärdet 0, E wjwj E wj 2 w 2.For en tidsserie. Använd detta resultat för att få ACF ges ovan. En inverterbar MA-modell är en som kan skrivas som en oändlig ordning AR-modell som konvergerar så att AR-koefficienterna konvergerar till 0 när vi rör sig oändligt tillbaka i tiden. Vi ska visa omvändlighet för MA 1-modellen. Vi då Substitutionsförhållande 2 för w t-1 i ekvation 1. 3 zt wt theta1 z-theta1w wt theta1z-theta 2w. At tiden t-2 ekvation 2 blir. Vi ersätter sedan förhållandet 4 för w t-2 i ekvation 3. zt wt Theta1 z - theta 21w wt theta1z - theta 21 z - theta1w wt theta1z - theta1 2z theta 31.Om vi ​​skulle fortsätta oändligt, skulle vi få oändlig ordning AR - modellen. Zt wt theta1 z - theta 21z theta 31z - theta 41z prickar. Observera att om 1 1 kommer koefficienterna som multiplicerar lagren av z ökar oändligt i storlek när vi flyttar tillbaka i tiden. För att förhindra detta behöver vi 1 1 Detta är Villkoret för en inverterbar MA 1-modell. Infinite Order MA-modellen. I vecka 3 ser vi att en AR 1-modell kan konverteras till en oändlig MA-modell. Xt - mu wt phi1w phi 21w prickar phi k1 w prickar summa phi j1w. Denna summering av tidigare vita ljudvillkor är känd som kausalrepresentation av en AR 1 Med andra ord är xt en speciell typ MA med ett oändligt antal termer Går tillbaka i tid Detta kallas ett oändligt order MA eller MA En ändlig ordning MA är en oändlig ordning AR och någon ändlös ordning AR är en oändlig ordning MA. Recall i vecka 1 noterade vi att ett krav på en stationär AR 1 är att 1 1 Låt oss beräkna Var xt med hjälp av kausalrepresentationen. Detta sista steg använder ett grundläggande fakta om geometriska serier som kräver phi1 1 annars skiljer serien bort.